Question

如图，P是边长为1的正六边形ABCDEF所在平面外一点，P在平面ABC内的射影为BF的中点O且PO=1，
（Ⅰ）证明PA⊥BF；
（Ⅱ）求面APB与面DPB所成二面角的大小．

Answer 1

分析：（1）立体几何中证明直线与直线垂直，通常可用三垂线定理：因为P在平面ABC内的射影为O，所以PO⊥平面ABF，所以AO为PA在平面ABF内的射影；又因为O为BF中点，所以AO⊥BF，则PA⊥BF．
（2）解法一：
二面角的度量关键在于作出它的平面角，常用的方法就是三垂线定理．由PO⊥平面ABF可得：AD⊥平面PBF，过O在平面POB内作OH⊥PB于H，连AH、DH，则AH⊥PB，DH⊥PB，所以∠AHD为所求二面角平面角．
解法二：
以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，P（0，0，1），A（0，-

1

2

，0），B（

3

2

，0，0），D（0，2，0），这种解法的好处就是：（1）解题过程中较少用到空间几何中判定线线、面面、线面相对位置的有关定理，因为这些可以用向量方法来解决．（2）即使立体感稍差一些的学生也可以顺利解出，因为只需画个草图以建立坐标系和观察有关点的位置即可．
设平面PAB的法向量为

n1

=(x1，y1，1)，则

n1

⊥

PA

，

n1

⊥

PB

，设平面PDB的法向量为

n2

=(x2，y2，1)，则

n2

⊥

PD

，

n2

⊥

PB

，所以所求二面角的大小即为这两个法向量的夹角的大小．

解答：解：（Ⅰ）在正六边形ABCDEF中，△ABF为等腰三角形，
∵P在平面ABC内的射影为O，
∴PO⊥平面ABF，
∴AO为PA在平面ABF内的射影；
∵O为BF中点，∴AO⊥BF，
∴PA⊥BF．
（Ⅱ）解法一：
∵PO⊥平面ABF，
∴平面PBF⊥平面ABC；而O为BF中点，ABCDEF是正六边形，
∴A、O、D共线，且直线AD⊥BF，则AD⊥平面PBF；
又∵正六边形ABCDEF的边长为1，
∴AO=

1

2

，DO=

3

2

，BO=

3

2

．
过O在平面POB内作OH⊥PB于H，连AH、DH，则AH⊥PB，DH⊥PB，
所以∠AHD为所求二面角平面角．
在△AHO中，OH=

21

7

，tan∠AHO=

AO

OH

=

1 2

21 7

=

7

2 21

．
在△DHO中，tan∠DHO=

DO

OH

=

3 2

21 7

=

21

2

；
而tan∠AHD=tan(∠AHO+∠DHO)=

7 2 21 + 21 2

1- 7 2 21 × 21 2

=-

4×28

3 21

=

16 21

9

（Ⅱ）解法二：
以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，P（0，0，1），A（0，-

1

2

，0），B（

3

2

，0，0），D（0，2，0），
∴

PA

=(0，-

1

2

，-1)，

PB

=(

3

2

，0，-1)，

PD

=(0，2，-1)
设平面PAB的法向量为

n1

=(x1，y1，1)，则

n1

⊥

PA

，

n1

⊥

PB

，
得

- 1 2 y1-1=0 3 2 x1-1=0

，

n1

=(

2 3

3

，-2，1)；
设平面PDB的法向量为

n2

=(x2，y2，1)，则

n2

⊥

PD

，

n2

⊥

PB

，
得

2y2-1=0 3 2 x2-1=0

，

n2

=(

2 3

3

，

1

2

，1)；
cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

8 589

589

点评：本小题主要考查棱锥的结构特征，二面角和线面关系等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力．