Question

【题目】已知抛物线与圆相交于，两点，且点的横坐标为.是抛物线的焦点，过焦点的直线与抛物线相交于不同的两点，.

（1）求抛物线的方程.

（2）过点，作抛物线的切线，，是，的交点，求证：点在定直线上.

Answer 1

【答案】（1）（2）证明见解析

【解析】

（1）根据点的横坐标为，通过圆的方程得到点的坐标，代入抛物线方程求解.

（2）由（1）得到抛物线，求导，设，利用导数的几何意义，得到切线，的方程，联立解得点P的坐标，再设出直线的方程与抛物线方程联立，结合韦达定理求解.

（1）点的横坐标为，所以点的坐标为，

代入解得，所以抛物线的方程为.

（2）抛物线，则，设，

所以切线的方程为，即，

同理切线的方程为，

联立解得点，

设直线的方程为，代入，

得，所以，

所以点在上，结论得证.