Question

（2012•郑州二模）郑州市某广场有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC、△ABD，经测量AD=BD=7米，BC=5 米，AC=8 米，∠C=∠D．
（I）求AB的长度；
（II）若环境标志的底座每平方米造价为5000元，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用最低（请说明理由），最低造价为多少？
（

3

=1.732，

2

=1.414）

Answer 1

分析：（Ⅰ）在△ABC中，由余弦定理得cosC 的值，在△ABD中，由余弦定理得cosD 的值，由∠C=∠D得 cosC=cosD，求得AB=7，从而得出结论．
（Ⅱ）小李的设计符合要求，因为由条件可得 S_△ABD＞S_△ABC，再由AD=BD=AB=7，得△ABD是等边三角形．由此求得S_△ABC的值，再乘以5000，即得所求．

解答：解：（Ⅰ）在△ABC中，由余弦定理得cosC=

AC2+BC 2 -AB 2

2AC•BC

=

82+5 2-AB 2

2×8×5

．  ①…（2分）
在△ABD中，由余弦定理得cosD=

AD2+BD 2 -AB 2

2AD•BD

=

72+7 2-AB 2

2×7×7

．  ②…（4分）
由∠C=∠D得 cosC=cosD，AB=7，所以 AB长度为7米．…（6分）
（Ⅱ）小李的设计符合要求．理由如下：S_△ABD=

1

2

•AD•BD•sinD，S_△ABC=

1

2

•AC•BC•sinC．
因为 AD•BD＞AC•BC，所以 S_△ABD＞S_△ABC．
故选择△ABC建造环境标志费用较低．…（8分）
因为：AD=BD=AB=7，所以△ABD是等边三角形，∠D=60°，
故，S_△ABC=

1

2

•AC•BC•sinC=10

3

，
所以，总造价为：5000×10

3

=50000

3

．…（12分）

点评：本题主要考查余弦定理的应用，解三角形，属于中档题．