Question

（12分）正方形ABCD边长为4，点E是边CD上的一点，

将AED沿AE折起到的位置时，有平面 平面ABCE，

并且（如图）

   （I）判断并证明E点的具体位置；（II）求点D^/到平面ABCE的距离．

Answer 1

（I）略    （II）

解析:

（I）连结AC、BD交于点O，再连DD，由BDAC，且平面ACD平面ABCE于AC，∴BD平面ACD，故CDBD，又CDBD，∴CD平面BDD，[来源:学即得CDDD，在Rt△CDD中，由于ED=ED，∴∠EDD=∠EDD，

则∠ECD=90⁰EDD=90⁰EDD=∠EDC，∴EC=ED=ED，

即E点为边CD的中点． …………………6分

   （II）方法一：如图取OC的中点M，连结DM、EM，

则EM//BD，得EM平面ACD，

即∠EMD=90⁰，又因为DE=2，EM=，

则DM=，又ADEM，∵ADDE，

∴ ADDE，∴AD平面EMD，

则ADDM，在Rt△AMD中，AD=4，AM=，DM=，

过D作DHAM于H点，则DH平面ABCE，

由于DH=，此即得点D到平面ABCE的距离．

方法二：如图, 连结OD，∵CD平面BDD， 

∴CDOD，

在△ADC中，设OD，

则∵OC，∴CD=，

∵∠AOD与∠DOC互补，

由余弦定理得，

解得，在直角三角形ODC中，  

由面积公式得所求距离为．

方法三：能用最小角定理帮助解△ADC，

即，其中

可求．

另解： 建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），

A（4，0，0），B（4，4，0），C（0，4，0），

设E（0，，0），D（），

设DH平面ABCE于H点，则H在AC上，

∴H的坐标为（，0），依题意有：

，，，，[来源:Zxxk.Com]

∵，

∴，，

∴，[来源:学科网]

，∴，

，∴

由与两式相减，

将代入得，从而有，

即E为CD中点，点D到平面ABCE的距离是． …………………12分