Question

某商场预计2012年从1月起前x个月顾客对某种世博商品的需求总量P（x）件与月份x的近似关系是：p（x）= x（x+1）（41﹣2x）（x≤12且x∈N+）
（1）写出第x月的需求量f（x）的表达式；
（2）若第x月的销售量g（x）= （单位：件），每件利润q（x）元与月份x的近似关系为：q（x）= ，求该商场销售该商品，预计第几月的月利润达到最大值？月利润最大值是多少？（e⁶≈403）

Answer 1

解：（1）当x=1时，f（1）=P（1）=39；
当x≥2时，f（x）=P（x）﹣P（x﹣1）
= x（x+1）（41﹣2x）﹣ （x﹣1）x（43﹣2x）
=3x（14﹣x）；
∴f（x）=﹣3x²+42x（x≤12且x∈N+）
（2）h（x）=q（x）g（x）= 且x∈N+，
h′（x）= 且x∈N+；
∵当1≤x≤6时，h′（x）≥0，
∴h（x）在x∈[1，6]上单调递增， ∴当1≤x＜7且x∈N+时，h（x）max=h（6）=3000；
∵当7≤x≤8时，h′（x）≥0，当8≤x≤12时，h′（x）≤0，
∴当7≤x≤12且x∈N+时， ；
综上，预计第6个月的月利润达到最大，最大月利润为3000元．