Question

已知A、B、C是△ABC的三个内角，且满足2sinB=sinA+sinC，设B的最大值为B₀．
（Ⅰ）求B₀的大小；
（Ⅱ）当B=

3B0

4

时，求cosA-cosC的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据2sinB=sinA+sinC，利用正弦定理可得b=

a+c

2

，再利用余弦定理，结合基本不等式，即可求B₀的大小；
（Ⅱ）设cosA-cosC=x，由（Ⅰ）及题设知sinA+sinC=

2

，从而可得关于x的方程，即可求得结论．

解答：解：（Ⅰ）由题设及正弦定理知，2b=a+c，即b=

a+c

2

．
由余弦定理知，cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-( a+c 2 )2

2ac

=

3(a2+c2)-2ac

2ac

≥

6ac-2ac

8ac

=

1

2

．（4分）
因为y=cosx在（0，π）上单调递减，所以B的最大值为B₀=

π

3

．（6分）
（Ⅱ）解：设cosA-cosC=x，①（8分）
由（Ⅰ）及题设知sinA+sinC=

2

．②
由①²+②²得，2-2cos（A+C）=x²+2．（10分）
又因为A+C=π-B=

3π

4

，
所以x=±

4	2

，即cosA-cosC=±

4	2

．（14分）

点评：本题考查正弦、余弦定理，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．