Question

已知函数R，且.

（1）当时，若函数存在单调递减区间，求的取值范围；

（2）当且时，讨论函数的零点个数.

Answer 1

解析：（1）当时，函数，其定义域是，

∴.                               

函数存在单调递减区间，

∴在上有无穷多个解.

∴关于的不等式在上有无穷多个解.      

① 当时，函数的图象为开口向上的抛物线，

  关于的不等式在上总有无穷多个解.      

② 当时，函数的图象为开口向下的抛物线，其对称轴为

.要使关于的不等式在上有无穷多个解.

必须，

解得，此时.                                     

综上所述，的取值范围为.                       

另解：分离系数：不等式在上有无穷多个解，

则关于的不等式在上有无穷多个解，

∴，即，而.                                

∴的取值范围为.                             

（2）当时，函数，其定义域是，

∴.

令，得，即，   

，                                               

，，则，   

∴                       

当时，；当1时，.

∴函数在区间上单调递增，在区间上单调递减.                 

∴当时，函数取得最大值，其值为.

① 当时，，若, 则, 即.

此时，函数与轴只有一个交点，故函数只有一个零点；              

② 当时，，又,

,

函数与轴有两个交点，故函数有两个零点；                       

③ 当时，，函数与轴没有交点，故函数没有零点.