Question

平面直角坐标系xOy中，A（1，0），B（0，1），C（2，5），D是AC上的动点，满足

AD

=λ

AC

（λ∈R）．
（Ⅰ）求|2

AB

+

AC

|的值；
（Ⅱ）求cos∠BAC；
（Ⅲ）若

BD

⊥

BA

，求实数λ的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知计算2

AB

+

AC

=(-1，7)，根据向量的数量积的性质可求
（Ⅱ）根据向量的夹角公式cos∠BAC=

AB • AC

| AB || AC |

可求
（Ⅲ）由

BD

⊥

BA

，可得

BD

•

BA

=0，从而可得关于λ的方程，求解即可

解答：解：（Ⅰ）因为

AB

=(-1，1)，

AC

=(1，5)，所以2

AB

+

AC

=(-1，7)（2分）
|2

AB

+

AC

|=

(-1)2+72

=5

2

（4分）
（Ⅱ）因为cos∠BAC=

AB • AC

| AB || AC |

（6分）
所以cos∠BAC=

(-1)×1+1×5

(-1)2+12 • 12+52

=

2 13

13

（9分）
（Ⅲ）

BD

=

AD

-

AB

=λ(1，5)-(-1，1)=(λ+1，  5λ-1)（11分）
因为

BD

⊥

BA

，所以

BD

•

BA

=0（13分）

BA

=(1，-1)即（λ+1）×1+（5λ-1）×（-1）=0，解得λ=

1

2

（14分）

点评：本题主要综合考查了向量的模的求解，向量的夹角公式的求解及向量垂直的坐标表示等向量的数量积的性质的运用．