Question

已知椭圆C：（a＞b＞0），F₁、F₂分别为其左、右焦点，点P（，1）在椭圆C上，且PF₂垂直于x轴．
（1）求椭圆C的方程；（2）设坐标平面上有两点A（-5，-4）、B（3，0），过点P作直线l，交线段AB于点D，并且直线l将△PAB分成的两部分图形的面积之比为5：3，求D点的坐标．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据点P（，1）在椭圆C上，且PF₂垂直于x轴，可知右焦点坐标，从而可求PF₁的长，故可求椭圆C的方程；
（2）根据直线l将△PAB分成的两部分图形的面积之比为5：3，可得D分所成的比，利用定比分点坐标公式可求D点的坐标．
解答：解：（1）因为点P（，1）在椭圆C上，且PF₂垂直于x轴，
所以F₂（，0），即c=，…（1分）
又PF₂=1，所以PF₁=3，…（3分）
所以2a=4，a=2，…（4分）
所以b²=a²-c²=2
所以，所求椭圆方程为…（6分）
（2）过点P作直线l，交线段AB于点D，则其坐标可设为D（x，y），…（7分）
又直线l将△PAB分成的两部分图形的面积之比为5：3，
即有：点D在线段AB上，且AD：DB=5：3或AD：DB=3：5
因为A（-5，-4）、B（3，0），设D分所成的比为λ，λ=或λ=…（9分）
所以，
或，，
所以点D的坐标为（0，）或（-2，）…（12分）
点评：本题的考点是直线与圆锥曲线的综合问题，主要考查椭圆的标准方程，考查线段的定比分点坐标公式，有一定的综合性