Question

如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，|AB|=2，|AC|=

3

2

，一曲线E过点C，且曲线E上任一点到A，B两点的距离之和不变．
（1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程；
（2）设点Q是曲线E上的一动点，求线段QA中点的轨迹方程；
（3）设M，N是曲线E上不同的两点，直线CM和CN的倾斜角互补，试判断直线MN的斜率是否为定值．如果是，求这个定值；如果不是，请说明理由．
（4）若点D是曲线E上的任一定点（除曲线E与直线AB的交点），M，N是曲线E上不同的两点，直线DM和DN的倾斜角互补，直线MN的斜率是否为定值呢？如果是，请你指出这个定值．（本小题不必写出解答过程）

Answer 1

分析：（1）由于曲线E上任一点到A，B两点的距离之和不变，所以其轨迹是椭圆，求方程先建立坐标系，从而可求；
（2）先假设线段QA中点的坐标P，利用中点坐标公式得出P，Q坐标之间的关系，再结合（1）求出线段QA中点的轨迹方程；
（3）由于直线CM和CN的倾斜角互补，所以可设直线CM和CN的斜率分别为k，-k，再结合M，N是曲线E上不同的两点，可知直线MN的斜率是定值；
（4）利用极限位置考虑：当直线DM和DN的倾斜角都为90°时，直线MN即为D'（a，-b）处的切线．

解答：解：（1）以AB的中点为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系．
∵|CA|+|CB|=4[（1分）]
不难知道：曲线E是以A，B为两焦点、长轴长为4的椭圆．
故曲线E的方程为

x2

4

+

y2

3

=1，
（2）设线段QA的中点为P（x，y），∵A（-1，0），
∴Q（2x+1，2y）[（5分）]
∵点Q在曲线E上，故可得：

(2x+1)2

4

+

(2y)2

3

=1[（7分）]
即线段QA中点的轨迹方程为(x+

1

2

)2+

4y2

3

=1[（8分）]
（3）设直线CM和CN的斜率分别为k，-k
直线CM的直线方程为y-

3

2

=k(x+1)
代入曲线E的方程，得(3+4k2)x2+8k(k+

3

2

)x+4k2+12k-3=0[（9分）]
由韦达定理：xC•xM=

4k2+12k-3

3+4k2

，
∴xM=-

4k2+12k-3

3+4k2

同理xN=-

4k2-12k-3

3+4k2

[（10分）]
而yM-

3

2

=k(xM+1)，yN-

3

2

=-k(xN+1)
∴kMN=

yM-yN

xM-xN

=

k(xM+xN+2)

xM-xN

=

12k 3+4k2

24k 3+4k2

=

1

2

故直线MN的斜率为定值

1

2

[（12分）]
（4）设D（a，b），当直线DM和DN的倾斜角都为90°时，直线MN即为D'（a，-b）处的切线，则直线MN的斜率为定值

3a

4b

点评：本题主要考查曲线轨迹方程的求解，涉及定义法、代入法等，同时解决了定值问题．