Question

【题目】选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，倾斜角为α（α≠ ）的直线l的参数方程为 （t为参数）．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρcos2θ﹣4sinθ=0．
（I）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知点P（1，0）．若点M的极坐标为（1， ），直线l经过点M且与曲线C相交于A，B两点，设线段AB的中点为Q，求|PQ|的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵直线l的参数方程为 （t为参数）． ∴直线l的普通方程为y=tanα（x﹣1），
由曲线C的极坐标方程是ρcos2θ﹣4sinθ=0，得ρ2cos2θ﹣4ρsinθ=0，
∴x2﹣4y=0，
∴曲线C的直角坐标方程为x2=4y．
（Ⅱ）∵点M的极坐标为（1， ），∴点M的直角坐标为（0，1），
∴tanα=﹣1，直线l的倾斜角为 ，
∴直线l的参数方程为 ，
代入x2=4y，得 ，
设A，B两点对应的参数为t1 ， t2 ，
∵Q为线段AB的中点，
∴点Q对应的参数值为 ，
又P（1，0），则|PQ|=| |=3 ．
【解析】（Ⅰ）直线l的参数方程消去参数t，能求出直线l的普通方程；由曲线C的极坐标方程能求出曲线C的直角坐标方程．（Ⅱ）求出点M的直角坐标为（0，1），从而直线l的倾斜角为 ，由此能求出直线l的参数方程，代入x2=4y，得 ，由此利用韦达定理和两点间距离公式能求出|PQ|．