Question

四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，底面ABCD为菱形，且有AB=1，AP=

2

，∠BAD=120°，E为PC中点．
（Ⅰ）证明：AC⊥面BED；
（Ⅱ）求二面角E-AB-C的平面角的余弦值．

Answer 1

分析：（I）因为菱形的对角线互相垂直，所以AC⊥BD，再由△PAC的中位线，得到EO∥PA，结合PA⊥面ABCD，所以EO⊥面ABCD，从而AC⊥EO．最后根据直线与平面垂直的判定定理，得到AC⊥面BED；
（II）以A为原点，AD、AP所在直线分别为y轴、z轴，建立如图所示坐标系，则可得到A、B、C、E各点的坐标，从而得到向量

AB

、

AC

、

AE

的坐标，然后利用垂直向量数量积为零的方法，分别求出平面ABE和平面ABC的一个法向量，结合空间向量的夹角公式计算出它们的夹角的余弦值．最后根据题意，二面角E-AB-C是锐二面角，得到二面角E-AB-C平面角的余弦值为余两个法向量夹角余弦的绝对值．

解答：解：（Ⅰ）设O为底面ABCD的中心，连接EO，
∵底面ABCD为菱形，∴AC⊥BD
∵△PAC中，E、O分别是PC、PA的中点
∴EO∥PA
又∵PA⊥面ABCD，
∴EO⊥面ABCD
∵AC?面ABCD，∴AC⊥EO
又∵BD、EO是平面BED内的两条相交直线
∴AC⊥面BED（6分）
（Ⅱ）以A为原点，AD、AP所在直线分别为y轴、z轴，建立如图所示坐标系，则可得A(0，0，0)，B(

3

2

，-

1

2

，0)，C(

3

2

，

1

2

，0)，E(

3

4

，

1

4

，

2

2

)
∴

AB

=(

3

2

，-

1

2

，0)，

AE

=(

3

4

，

1

4

，

2

2

)，

AC

=(

3

2

，

1

2

，0)（8分）
设

n1

=(x1，y1，z1)是平面ABE一个法向量
由

n1 • AB =x1• 3 2 +y1•(- 1 2 )+z1•0=0 n1 • AE =x1• 3 4 +y1• 1 4 +z1• 2 2 =0

，解得

y1= 3 x1 z1=- 6 2 x1

，
所以取x₁=1，y1=

3

，z1=-

6

2

，可得

n1

=(1，

3

，-

6

2

)，
因为PA⊥平面ABC，所以向量

PA

即为平面ABC的一个法向量，设

PA

=

n2

=(0，0，

2

)（10分）
∴cos＜n1，n2＞=

n1 • n2

|n1| |n2|

=

- 6 2 × 2

1+3+ 3 2 • 2

=-

33

11

根据题意可知：二面角E-AB-C是锐二面角，其余弦值等于|cos＜n₁，n₂＞|=

33

11

∴二面角E-AB-C的平面角的余弦值为

33

11

．（12分）

点评：本题给出底面为菱形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥，证明线面垂直并且求二面角所成角的余弦之值，着重考查了线面垂直的判定与性质和用空间向量求平面间的夹角的知识点，属于中档题．