Question

（本小题12分）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=1，E是MN的中点。

（1）求证：平面AEC⊥平面AMN；   （6分）
（2）求二面角M－AC－N的余弦值。  （6分）

Answer 1

（1）略
（2）

方法一、传统几何
（1）MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ANCD，由直角三角形易得：AM=AN=MN=NC=MC=，E是MN中点，可得AE⊥MN，CE⊥MN，又AE∩EC=E从而MN⊥平面AEC；
（2）这里也有多种方法：
连接BD交AC与点O，底面是正方形得AC⊥BD，OE//MD推得OE⊥AC，得AC⊥平面MDBN，所以∠MON就是二面角M－AC－N的平面角，在矩形MDBN中根据长度可以求得cos∠MON=。

（亦可把二面角M－AC－N，拆成两个二面角M－AC－E和E－AC－N；或者抽取出正四面体MNAC，再求侧面与地面所成角；或者求平面ACN的垂线MB和平面ACM的垂线DN之间的夹角）
方法二、向量几何
MD⊥平面ABCDMD⊥DA，MD⊥DC，又底面ABCD为正方形DA⊥DC，故以点D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DM为z轴，如图建立空间直角坐标系。
则各点的坐标A（1，0,0），B（1,1,0），C（0，1,0），M（0,0,1），N（1,1,1），
E（，，1）                            ……3分
（1） ·=…=0MN⊥AE；
·=…=0MN⊥AC
又AC∩AE=E，故MN⊥平面AEC；      ………7分
（2）不妨设平面AMC的法向量为=（1，y，z），平面ANC的法向量为=（1，m，n） 则由⊥,⊥·=0,·=0,代入坐标解得=（1,1,1）---9分
由⊥,⊥·=0,·=0,代入坐标运算得=（1,1，－1）--11分
Cos<,>==                             -------12分