Question

如下图,ABCD是正方形,PA⊥面ABCD,AE⊥PD,EF∥CD,AM=EF.

(1)证明MF是异面直线AB与PC的公垂线;

(2)若PA=3AB,求直线AC与平面EAM所成角的正弦值.

Answer 1

(1)证明:因PA⊥底面ABCD,有PA⊥AB.

    又知AB⊥AD,故AB⊥面PAD,推得BA⊥AE.

    又AM∥CD∥EF,且AM=EF,

    可得AEFM是矩形,故AM⊥MF.

    又因为AE⊥PD,AE⊥CD,故AE⊥面PCD.

    而MF∥AE,得MF⊥面PCD.故MF⊥PC.

    因此MF是AB与PC的公垂线.

(2)解:如下图，连结BD交AC于O点,连结BE,过O作BE的垂线OH,垂足H在BE上,易知PD⊥面MAE,故DE⊥BE.

    又OH⊥BE,故OH∥DE.

    因此OH⊥平面MAE.

    连结AH,则∠HAO是所要求的直线AC与平面MAE所成的角.

    设AB=a,

    则PA=3a,AO=AC=a.

    因Rt△ADE∽Rt△PDA,

    故ED=,OH=ED=,

    从而在Rt△AHO中,sinHAO=.

点评:求直线和平面所成的角时,应注意的问题是:(1)先判断直线和平面的位置关系;(2)当直线和平面斜交时,常有以下步骤:①作——作出或找到斜线与射影所成的角;②证——论证所作或找到的角为所求的角;③算——常用解三角形的方法求角;④结论——点明斜线和平面所成的角的值.