【题目】为增强学生法治观念,营造“学宪法、知宪法、守宪法”的良好校园氛围,某学校开展了“宪法小卫士”活动,并组织全校学生进行法律知识竞赛.现从全校学生中随机抽取50人,统计他们的竞赛成绩,并得到如表所示的频数分布表.
分数段 | |||||
人数 | 5 | 15 | 15 | 12 |
(Ⅰ)求频数分布表中的的值,并估计这50名学生竞赛成绩的中位数(精确到0.1);
(Ⅱ)将成绩在内定义为“合格”,成绩在内定义为“不合格”.请将列联表补充完整.
合格 | 不合格 | 合计 | |
高一新生 | 12 | ||
非高一新生 | 6 | ||
合计 |
试问:是否有95%的把握认为“法律知识的掌握合格情况”与“是否是高一新生”有关?说明你的理由;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下,在该50人中,按“合格与否”进行分层抽样,随机抽取5人,再从这5人中随机抽取2人,求恰好2人都合格的概率.
附:
0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
,.
【答案】(Ⅰ),中位数73.3(Ⅱ)见解析,有(Ⅲ)0.3
【解析】
(Ⅰ)先利用样本总数减去前面各组样本数,即可求得的值,再利用中位数的定义列方程,即可求解;
(Ⅱ)根据频数分布表,填写2×2列联表,再代入公式中进行计算,查表,即可得解;
(Ⅲ)先求出分层抽样的比例,再利用枚举法分别求得事件总数和所求的基本事件数,利用古典概型的概率公式,即可得解.
(Ⅰ).设成绩的中位数为,
则,解得.
(Ⅱ)补全2×2列联表如下所示:
合格 | 不合格 | 合计 | |
高一新生 | 12 | 14 | 26 |
非高一新生 | 18 | 6 | 24 |
合计 | 30 | 20 | 50 |
,
所以有95%的把握认为“法律知识的掌握合格情况”与“是否是高一新生”有关.
(Ⅲ)分层抽样的比例为,故抽取的5人中成绩合格的有(人),
分别记为,,;成绩不合格的有(人),分别记为,.
从5人中随机抽取2人的基本事件有
,,,,,,,,,,共10种,
2人都合格的基本事件有,,,共3种,
所以恰好2人都合格的概率.
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【题目】已知定点、,直线、相交于点,且它们的斜率之积为,记动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程;
(2)已知定点,,过点的直线与曲线交于、两点 ,则直线与斜率之积是否为定值,若是求出定值;若不是请说明理由.
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【题目】选修4—4:坐标系与参数方程
平面直角坐标系xOy中,曲线C:.直线l经过点P(m,0),且倾斜角为.O为极点,以x轴正半轴为极轴,建立极坐标系.
(Ⅰ)写出曲线C的极坐标方程与直线l的参数方程;
(Ⅱ)若直线l与曲线C相交于A,B两点,且|PA|·|PB|=1,求实数m的值.
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【题目】某市正在进行创建全国文明城市的复验工作,为了解市民对“创建全国文明城市”的知识知晓程度,某权威调查机构对市民进行随机调查,并对调查结果进行统计,共分为优秀和一般两类,先从结果中随机抽取100份,统计得出如下列联表:
优秀 | 一般 | 总计 | |
男 | 25 | 25 | 50 |
女 | 30 | 20 | 50 |
总计 | 55 | 45 | 100 |
(1)根据上述列联表,是否有的把握认为“创城知识的知晓程度是否为优秀与性别有关”?
(2)现从调查结果为一般的市民中,按分层抽样的方法从中抽取9人,然后再从这9人中随机抽取3人,求这三位市民中男女都有的概率;
(3)以样本估计总体,视样本频率为概率,从全市市民中随机抽取10人,用表示这10人中优秀的人数,求随机变量的期望和方差.
附:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(其中).
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【题目】设矩阵M= (其中a>0,b>0).
(1)若a=2,b=3,求矩阵M的逆矩阵M-1;
(2)若曲线C:x2+y2=1在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C′:+y2=1,求a,b的值.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知抛物线C:()的焦点F在直线上,平行于x轴的两条直线,分别交抛物线C于A,B两点,交该抛物线的准线于D,E两点.
(1)求抛物线C的方程;
(2)若F在线段上,P是的中点,证明:.
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【题目】如图,直三棱柱中,,、、分别是线段、、的中点,,,在线段上运动,设.
(1)证明:;
(2)是否存在点,使得平面与平面所成的锐二面角的大小为?若存在,试确定点的位置;若不存在,请说明理由.
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