Question

（文）已知半径为5的圆的圆心在轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线 相切．
（1）求圆的标准方程；
（2）设直线与圆相交于两点，求实数的取值范围；
（3）在（2）的条件下，是否存在实数，使得弦的垂直平分线过点，

Answer 1

（1）；（2）；（3）

试题分析：（1）由圆心在轴，可设圆心为，又直线与圆相切，∴圆心到直线的距离，列式求，则圆的标准方程可求；（2）因为直线与圆相交于两点，则，解不等式可求实数的取值范围；（3）首先根据垂直关系得，又直线过点，根据直线的点斜式方程写出的方程为，由垂径定理可知，弦的垂直平分线必过圆心，将圆心代入，可求的值，再检验直线是否圆相交于两点.
试题解析：(1）设圆心为（m∈Z）,由于圆与直线4x+3y-29=0相切，且半径为5，∴即|4m-29|=25,即4m-29=25或4m-29=-25，解得,或，因为m为整数，故m=1，故所求的圆的方程是；
（2) 此时，圆心C(1, 0)与该直线的距离，
，即：；
（3）设符合条件的实数a存在，∵a≠0，则直线的斜率为，的方程为，即，由于直线垂直平分弦AB，故圆心M（1，0）必在，所以1+0+2-4a=0，解得，
经检验，直线ax-y+5=0与圆有两个交点，故存在实数，使得过点P（-2，4）的直线垂直平分弦AB.