Question

【题目】平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，焦点为、，直线经过焦点，并与相交于、两点．

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ）在上是否存在、两点，满足//，？若存在，求直线的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）不存在满足条件的直线

【解析】

试题（1）由椭圆几何性质求得得到椭圆方程；（2）首先设出CD直线，与椭圆联立整理为的二次方程，找到根与系数的关系，由已知转化出，代入点的坐标整理求的的值，最后要注意验证二次方程中是否成立

试题解析：（1）依题意，，由得

，椭圆的方程为

（2）（方法一）若存在满足条件的直线，∵，∴，

设直线的方程为

由……6分，得，

（*）

设，，则，

若线段的中点为，则即

由已知，则，，，由，解得

时，，与（*）矛盾，∴不存在满足条件的直线

（方法二）假设存在，，线段的中点为，则，由两式相减得

代入、化简得：①

由已知，则，由得，② 由①②解得，即直线CD的方程为：

联立得，∵，方程组无解，

∴不存在满足条件的直线