Question

如图，直四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁的高为3，底面是边长为4且∠DAB＝60°的菱形，AC∩BD＝0，A₁C₁∩B₁D₁＝O₁，E是O₁A的中点．

(1)求二面角O₁－BC－D的大小；

(2)求点E到平面O₁BC的距离．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)过O作OF⊥BC于F，连接O1F，∵OO1⊥面AC，∴BC⊥O1F， 　　∴∠O1FO是二面角O1－BC－D的平面角，　　　　3分 　　∵OB＝2，∠OBF＝60°，∴OF＝． 　　在Rt△O1OF在，tan∠O1FO＝∴∠O1FO＝60° 　　即二面角O1－BC－D为60°　　　　6分; 　　(Ⅱ)在△O1AC中，OE是△O1AC的中位线，∴OE∥O1C 　　∴OE∥O1BC，∵BC⊥面O1OF，∴面O1BC⊥面O1OF，交线O1F． 　　过O作OH⊥O1F于H，则OH是点O到面O1BC的距离，　　　　9分 　　点E到面O1BC的距离等于OH， 　　∴OH＝∴点E到面O1BC的距离等于　　　　12分 　　解法二：(I)∵OO1⊥平面AC，∴OO1⊥OA，OO1⊥OB，又OA⊥OB，建立如图所示的空间直角坐标系(如图) 　　∵底面ABCD是边长为4，∠DAB＝60°的菱形， 　　∴OA＝2，OB＝2 　　则A(2，0，0)，B(0，2，0)，C(－2，0，0)，O1(0，0，3) 　　 　　设平面O1BC的法向量为＝(x，y，z)， 　　则⊥，⊥， 　　∴，则z＝2，x＝－，y＝3， 　　∴＝(－，3，2)，而平面AC的法向量＝(0，0，3) 　　∴cos＜，＞＝ 　　设O1－BC－D的平面角为α，∴cosα＝∴α＝60°． 　　故二面角O1－BC－D为60°; 　　(Ⅱ)设点E到平面O1BC的距离为d， 　　∵E是O1A的中点，∴＝(－，0，)， 　　则d＝ 　　∴点E到面O1BC的距离等于．　　　　12分