Question

求下列函数的最值
（1）x＞0时，求的最小值．
（2）设，求的最大值．
（3）若0＜x＜1，求y=x⁴（1-x²）的最大值．
（4）若a＞b＞0，求的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）本题可为三个数的和，将变为，用基本不等式求出最小值．
（2）将函数变形f（x）=（log₃x-3）（log₃x+1）=（log₃x）²-2log₃x-3，令log₃x=t，转化为二次函数解决．
（3）将原函数式化为y=x⁴（1-x²）=4×x²•x²（1-x²）后利用基本不等式求解即可．
（4）本题可为三个数的和，可进行变形a+=a-b+b+用基本不等式求出最小值．
解答：解：（1）y=，
=9，
当且仅当时，取等号，
∴函数的最小值为9．

（2）f（x）=（log₃x-3）（log₃x+1）=（log₃x）²-2log₃x-3
令log₃x=t，由，得，t∈[-2，3]
∴y=t²-2t-3，t∈[-2，3]
当t=-2或3时，y_max=5
（3）y=x⁴（1-x²）=4×x²•x²（1-x²）=，
故y=x⁴（1-x²）的最大值是．
（4）∵a＞b＞0
a+=a-b+b+≥3=3=3，
当且仅当a-b=b=时取等号．
故最大值为：3．
点评：本题考查基本不等式公式，此题主要考查求函数最值问题，在做题的时候不能只考虑研究函数图象的方式求最值，需要多分析题目，对于特殊的函数可以用基本不等式直接求得最值．