Question

（本小题满分12分）已知函数
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，若在区间上的最小值为-2，求的取值范围；
（3）若对任意，且恒成立，求的取值范围。

Answer 1

（1）（2）（3）

试题分析：（1）当时，.        ……1分
因为.所以切线方程是                          ……3分
（2）函数的定义域是. 
当时，
令，即，
所以或.                                                    ……4分
当，即时，在［1，e]上单调递增，
所以在［1，e]上的最小值是；
当时，在［1，e]上的最小值是，不合题意；
当时，在（1，e）上单调递减，
所以在［1，e]上的最小值是，不合题意
综上的取值范围.                                                 ……7分
（3）设，则，
只要在上单调递增即可.                                     ……8分
而
当时，，此时在上单调递增；              ……9分
当时，只需在上恒成立，因为，
只要，则需要，                                   ……10分
对于函数，过定点（0，1），对称轴，
只需，即. 
综上.                                                       ……12分
点评：导数是研究函数的一个有力的工具，研究函数时，不要忘记考查函数的定义域.