Question

已知动圆M与直线x=-2相切，且与定圆C：（x-3）²+y²=1外切．
（Ⅰ）求动圆圆心M的轨迹方程；
（Ⅱ）若正△OAB的三个顶点都在点M的轨迹上（O为坐标原点），求该正三角形的边长．

Answer 1

分析：（Ⅰ）动圆M与直线x=-2相切，且与定圆C：（x-3）²+y²=1，可以看到动圆的圆心M到C（3，0）的距离与到直线x=-3的距离相等，由抛物线的定义知，点M的轨迹是抛物线，由此易得轨迹方程；
（Ⅱ）正△OAB的三个顶点都在点M的轨迹上（O为坐标原点），此正三角形必有一个顶点是抛物线的顶点，另两个顶点的连线垂直于抛物线的对称轴，由此易得过原点的两边所在直线y=y=±

3?

3

x，与点M的轨迹方程联立，解出交点的坐标，即可求得正三角形的边长．

解答：解：（Ⅰ）由题意动圆M与直线x=-2相切，且与定圆C：（x-3）²+y²=1外切
∴动点M到C（3，0）的距离与到直线x=-3的距离相等
由抛物线的定义知，点M的轨迹是以C（3，0）为焦点直线x=-3为准线的抛物线
故所求M的轨迹方程为y²=12x
（Ⅱ）由题意此正三角形必有一个顶点是抛物线的顶点，另两个顶点的连线垂直于抛物线的对称轴，可设过原点的两边所在的直线方程为y=±

3?

3

x，
∴

y2=12x y= 3 3 x

?yA=12

3

∴正△OAB的边长AB=2yA=24

3

点评：本题考查轨迹方程，熟记抛物线的定义是求解本题的关键，由定义法求轨迹的方程是近几年高考的热点，要注意掌握高中数学中所学的几个重要定义，如圆锥曲线的定义，圆的定义等，第二小问的求解，关键是理解抛物线的对称性，从而得出此正三角的位置特征，借助这一特征求出正三角的面积