Question

已知圆和直线x-6y-10=0相切于（4，-1），且经过点（9，6），求圆的方程．

Answer 1

分析：设出圆心坐标，因为（4，-1）和（9，6）在圆上，所以利用两点间的距离公式表示出两点到设出圆心的距离，并让其相等列出关于a与b的方程，记作①，然后根据圆的切线垂直于过切点的直径，根据两直线垂直时斜率的乘积为-1，由已知直线的斜率求出直径所在直线的斜率，根据切点坐标和求出的斜率写出直径所在直线的方程，把圆心坐标代入又得到关于a与b的方程，记作②，联立①②，即可求出a与b的值得到圆心坐标，然后利用两点间的距离公式求出圆心到（9，6之间的距离即为圆的半径，根据圆心坐标和圆的半径写出圆的标准方程即可．

解答：解：设圆心坐标为（a，b），因为点（4，-1），点（9，6）都是圆上的点，
所以圆心与这两个点的距离相等，即（a-9）²+（b-6）²=（a-4）²+（b+1）²，
化简得：50-5a=7b①，
又因为圆与直线x-6y-10=0切于（4，-1），所以直径所在直线的斜率为-6，
所以经过（4，-1）的圆直径所在直线的方程为y+1=-6（x-4），
由于圆心在此直线方程上，代入得：b+1=-6（a-4）②，
联立①②，解得a=3，b=5，即圆心坐标为（3，5），
则圆的半径r=

(3-9)2+(5-6)2

=

37

，
所以圆的标准方程为：（x-3）²+（y-5）²=37．

点评：此题考查学生掌握切线的性质，灵活运用两点间的距离公式化简求值，掌握两直线垂直时斜率满足的关系，会根据圆心与半径写出圆的标准方程，是一道综合题．