设数组A：{a1，a2，…，an}与数组B：{b1，b2，…，bn}，A与B中的元素不完全相同，分别从A、B中的n个元素中任取m（m≤n）个元素作和，各得Cnm个和．若由A得到的Cnm个和与由B得到的Cnm个和恰好完全相同，则称数组A与B是n元中取m的全等和数组，简记为DHnm数组．
（1）判断数组A：{5，15，25，45}与B：{0，20，30，40}是否为DH42数组？
（2）若数组A：{a1，a2，…，an}与数组B：{b1，b2，…，bn}是DHnm数组（m≤n），求证：数组A与B一定是DHnn数组
（3）给定数组A：{a1，a2，a3，a4}，其中a1≤a2≤a3≤a4，问是否存在数组B，使得数组A与B为DH42数组？若存在，则求出数组B；若不存在，请说明理由．
【答案】
分析：（1）在数组A：{5，15，25，45}中任取两个数求和，可得20，30，40，50，60，70，同样在B：{0，20，30，40}中任取两个数求和，可得20，30，40，50，60，70，故A与B为DH
42数组
（2）求证数组A与B一定是DH
nn数组，即求证a
1+a
2+…a
n=b
1+b
2+…b
n，由数组A：{a
1，a
2，…，a
n}与数组B：{b
1，b
2，…，b
n}是DH
nm数组，则由A得到的C
nm个和与由B得到的C
nm个和恰好完全相同，由此可证
（3）假设存在数组B：{b
1，b
2，b
3，b
4}（不妨设b
1≤b
2≤b
3≤b
4）与A是DH
42数组，则有a
1+a
2=b
1+b
2、a
1+a
3=b
1+b
3、a
2+a
4=b
2+b
4、a
3+a
4=b
3+b
4不妨设b
1=a
1-q则b
2=a
2+q，b
3=a
3+q，b
4=a
4-q 故
，若q=0，则存在唯一数组B，否则不存在
解答：解：（1）A中C
42个和为：20，30，40，50，60，70B中C
42个和为：20，30，40，50，60，70
∴A与B为DH
42数组
（2）证明：从A中任取m个元素作和共得C
nm个数，再将C
nm个数作和记为S，
在C
nm个数中a
1、a
2、…、a
n都分别出现了C
n-1m-1次，故S=C
n-1m-1（a
1+a
2+…a
n）
同样从B中任取m个元素作和共得C
nm个数，这些数的和为S'，S'=C
n-1m-1（b
1+b
2+…b
n）
显然S=S'∴a
1+a
2+…a
n=b
1+b
2+…b
n即A与B为DH
nn数组
（3）假设存在数组B：{b
1，b
2，b
3，b
4}（不妨设b
1≤b
2≤b
3≤b
4）与A是DH
42数组，
则有a
1+a
2=b
1+b
2、a
1+a
3=b
1+b
3、a
2+a
4=b
2+b
4、a
3+a
4=b
3+b
4不妨设b
1=a
1-q则b
2=a
2+q，b
3=a
3+q，b
4=a
4-q
从而a
2+a
3=b
1+b
4（不能等于b
2+b
3否则q=0与题意不符）
故
①a
1+a
4≠a
2+a
3，则一定存在唯一数组B：{a
1-q，a
2+q，a
3+q，a
4-q}
（其中
）与A是DH
42数组
②a
1+a
4=a
2+a
3，则不存在数组B与A是DH
42数组．
点评：本题考查了排列与组合的应用，属新定义型创新题，解答难度较大，解题时首先要理解题意，然后根据要求用分析法分析，综合法写出解题过程
