Question

（2010•武汉模拟）已知抛物线y²=3px（p＞0），过点E（m，0）的直线交抛物线于点M、N，交y轴于点P，若

PM

=λ

ME

，

PN

=μ

NE

，则λ+μ（　　）

• A．1
• B．-

  1

  2

• C．-1
• D．-2

Answer 1

分析：本选择题利用特殊化方法解决．取特殊的抛物线y²=4x，和点E（1，0）的直线的斜率为：1，交抛物线于点M、N，交y轴于点P（0，-1），先设M，N的坐标为（x₁，y₁），（x₂，y₂）由向量间的关系可得到x₁，x₂，y₁，y₂，再由直线MN的表达式，可用y来表示x，然后带到抛物线表达式中，根据韦达定理，求出x₁，x₂的积、和，分别等于之前算出的x₁，x₂的积、和，从而得出λ+μ=-1．

解答：解：取特殊的抛物线y²=4x，和点E（1，0）的直线的斜率为：1，交抛物线于点M、N，交y轴于点P（0，-1），
分别设M，N的坐标为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
∵

PM

=λ

ME

，

PN

=μ

NE

，
∴

(x1-0 ，y1+1 )  =λ(1-x1，-y1) (x2-0 ，y2+1 )=μ(1-x2，-y2)

，
可得到x₁=

λ

1+λ

，x₂=

μ

1+μ

，y₁=-

1

1+λ

，y₂=

-1

1+μ

，
直线MN的方程为：y=x-1，代到抛物线表达式y²=4x中，
得：x²-6x+1=0，根据韦达定理x₁+x₂=6，x₁x₂=1
∴

λ

1+λ

+

μ

1+μ

=6，

λ

1+λ

•

μ

1+μ

=1，
⇒λ+μ=-1．
故选C．

点评：本题考查抛物线的性质和应用，解题时要注意向量和直线方程和合理运用．