Question

已知函数f（x）=x⁴-2ax²，a∈R．
（1）当a≤0时，求函数f（x）的单调区间；
（2）当a＜x＜2a时，函数f（x）存在极小值，求a的取值范围；
（3）若x∈（0，1]时，函数f（x）图象上任一点处的切线斜率均小于4，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求导函数，利用导数的正负，可得函数f（x）的单调区间；
（2）确定函数在（0，

a

）上存在极小值，结合a＜x＜2a时，函数f（x）存在极小值，可得不等式，从而可求a的取值范围；
（3）若x∈（0，1]时，函数f（x）图象上任一点处的切线斜率均小于4，等价于x∈（0，1]时，f′（x）=4x³-4ax＜4恒成立，分离参数求最值，即可求a的取值范围．

解答：解：（1）∵f（x）=x⁴-2ax²，
∴f′（x）=4x³-4ax=4x（x²-a），
∵a≤0，∴x＜0时，f′（x）＜0；
x＞0时，f′（x）＞0，
∴当a≤0时，函数f（x）的单调减区间是（-∞，0）．
单调增区间是（0，+∞）；
（2）由（1）知a＞0，函数在（-∞，-

a

），（0，

a

）上单调递减，在（-

a

，0），（

a

，+∞）上单调递增，
∴函数在（0，

a

）上存在极小值，
∵a＜x＜2a时，函数f（x）存在极小值，
∴

a＞0 2a＜ a

，
∴0＜a＜

1

4

；
（3）由题意，x∈（0，1]时，f′（x）=4x³-4ax＜4恒成立，
∴a＞x2-

1

x

，
令h（x）=x2-

1

x

，
则h′(x)=2x+

1

x2

，
∵x∈（0，1]，
∴h′（x）＞0，
∴函数h（x）在（0，1]上单调递增，
∴h（x）_max=h（1）=0，
∴a＞0．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的极值，考查函数的最值，考查分离参数法的运用，考查学生分析转化问题的能力，属于中档题．