Question

【题目】已知函数的图象关于原点对称.

（1）求实数的值；

（2）用定义法判断函数在上的单调性；

（3）若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）单调递增；（3）.

【解析】

试题分析：（1）因为的图象关于原点对称且，所以是上的奇函数，由，即可求解实数的值；（2）利用函数单调性的定义，即可证明函数为单调递增函数；（3）由函数是奇函数，得，又由为增函数，得, 转化为“存在，使得不等式成立.” 即可求解实数的取值范围.

试题解析：（1）因为的图象关于原点对称且，

所以是上的奇函数，由，得，解得.

经检验，当时，是奇函数，故.

（2）任取，则, 所以,

所以

,所以，故函数在上单调递增.

（3）由,可得.

又因为是奇函数，所以.

又因为在上单调递增,所以, 即,

所以“存在，使得不等式成立.”

即“存在，使得不等式成立.”

令, 则, 所以.