Question

甲、乙、丙三人进行乒乓球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判．
（1）求第4局甲当裁判的概率；
（2）用X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的分布列和数学期望．

Answer 1

（1）（2）

试题分析：（1）根据题意，甲第一局当裁判，则第二局一定是参加比赛，第四局当裁判，说明第三局继续参加比赛，所以，甲参加了第二、三两局的比赛，且第二局胜，第三局负.
（2）根据题意，在四局比赛中，乙参赛的情况与比赛结果可用下表表示五种情况：

	第一局	第二局	第三局	第四局	当裁判次数
1	参赛（胜）	参赛（胜）	参赛（胜）	参赛	0
2	参赛（胜）	参赛（胜）	参赛（负）	裁判	1
3	参赛（胜）	参赛（负）	裁判	参赛	1
4	参赛（负）	裁判	参赛（胜）	参赛	1
5	参赛（负）	裁判	参赛（负）	裁判	2

由此明确的所有可能的值，以及对应每个取值的含义，求出的分布列，进而求出的值.
试题解析：（1）记A₁表示事件“第2局结果为甲胜”，
A₂表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，
A表示事件“第4局甲当裁判”．
则A＝A₁·A₂．
P(A)＝P(A₁·A₂)＝P(A₁)P(A₂)＝．                  4分
（2）X的可能取值为0，1，2．
记A₃表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”，
B₁表示事件“第1局结果为乙胜丙”，
B₂表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”，
B₃表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”．
则P(X＝0)＝P(B₁·B₂·A₃)＝P(B₁)P(B₂)P(A₃)＝，
P(X＝2)＝P(B₁·B₃)＝P(B₁)P(B₃)＝，
P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝1－－＝．
∴X的分布列为

X	0	1	2
P

∴E(X)＝0×＋1×＋2×＝．                  12分