Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点为F₂（3，0），离心率为e．
（Ⅰ）若e=

3

2

，求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线y=kx与椭圆相交于A，B两点，M，N分别为线段AF₂，BF₂的中点．若坐标原点O在以MN为直径的圆上，且

2

2

＜e≤

3

2

，求k的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意得

c=3 c a = 3 2

，得a=2

3

，由此能求出椭圆的方程．
（Ⅱ）由

x2 a2 + y2 b2 =1 y=kx

得（b²+a²k²）x²-a²b²=0．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．所以x1+x2=0，x1x2=

-a2b2

b2+a2k2

，依题意OM⊥ON知，四边形OMF₂N为平行四边形，所以AF₂⊥BF₂，因为

F2A

=(x1-3，y1)，

F2B

=(x2-3，y2)，所以

F2A

•

F2B

=(x1-3)(x2-3)+y1y2=(1+k2)x1x2+9=0．由此能求出k的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）由题意得

c=3 c a = 3 2

，得a=2

3

．（2分）
结合a²=b²+c²，解得a²=12，b²=3．（3分）
所以，椭圆的方程为

x2

12

+

y2

3

=1．（4分）
（Ⅱ）由

x2 a2 + y2 b2 =1 y=kx

得（b²+a²k²）x²-a²b²=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
所以x1+x2=0，x1x2=

-a2b2

b2+a2k2

，（6分）
依题意，OM⊥ON，
易知，四边形OMF₂N为平行四边形，
所以AF₂⊥BF₂，（7分）
因为

F2A

=(x1-3，y1)，

F2B

=(x2-3，y2)，
所以

F2A

•

F2B

=(x1-3)(x2-3)+y1y2=(1+k2)x1x2+9=0．（8分）
即

-a2(a2-9)(1+k2)

a2k2+(a2-9)

+9=0，（9分）
将其整理为k=

a4-18a2+812

-a4+18a2

=-1-

812

a4-18a2

．（10分）
因为

2

2

＜e≤

3

2

，所以2

3

≤a＜3

2

，12≤a²＜18．（11分）
所以k2≥

1

8

，即K∈(-∞，-

2

4

]∪[

2

4

，+∞)．（13分）

点评：本题考查椭圆方程的求法和直线与椭圆位置关系的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．