Question

 

如图，抛物线的顶点O在坐标原点，焦点在y轴负半轴上，过点M(0，－2)作直线l与抛物线相交于A，B两点，且满足.

（Ⅰ）求直线l和抛物线的方程；

（Ⅱ）当抛物线上一动点P从点A到B运动时，求△ABP面积的最大值．

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 （Ⅰ）据题意可设直线l的方程为，

抛物线方程为.                                              （2分）

由得，.                                        （3分）

设点，则

.

所以.                          （4分）

因为，所以，解得.                （5分）

故直线的方程为，抛物线方程为                           （6分）

（Ⅱ）解法一：据题意，当抛物线过点P的切线与平行时，△APB面积最大.       （7分）

设点，因为，由，，所以

                                                                            （9分）

此时，点P到直线的距离.                   （10分）

由，得.                                            （11分）

所以.         （12分）

故△ABP面积的最大值为.                      （13分）

解法二：由得，.                                     （7分）

所以.         （8分）

设点，点P到直线的距离.               （9分）

则，

当时，_max=，此时点.                                 （12分）

故△ABP面积的最大值为.                     （13分）