Question

二次函数f（x）=ax²+bx+c（a，b∈R，a≠0）满足条件：
①当x∈R时，f（x）的图象关于直线x=-1对称；②f（1）=1；③f（x）在R上的最小值为0；
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求最大的m（m＞1），使得存在t∈R，只要x∈[1，m]，就有f（x+t）≤x．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用条件①②③，可确定解析式中的参数，从而可得函数f（x）的解析式；
（2）y=f（x+t）的图象是由y=f（x）平移t个单位得到，要x∈[1，m]时，f（x+t）≤x即y=f（x+t）的图象在y=x的图象的下方，且m最大．
解答：解：（1）∵f（x）的对称轴为x=-1，
∴=-1，即b=2a…（1分）
又f（1）=1，即a+b+c=1…（2分）
由条件③知：a＞0，且，即b²=4ac…（3分）
由上可求得…（4分）
∴…（5分）
（2）由（1）知：，图象开口向上．
而y=f（x+t）的图象是由y=f（x）平移t个单位得到，要x∈[1，m]时，f（x+t）≤x
即y=f（x+t）的图象在y=x的图象的下方，且m最大．…（7分）
∴1，m应该是y=f（x+t）与y=x的交点横坐标，…（8分）
即1，m是的两根，…（9分）
由1是的一个根，得（t+2）²=4，解得t=0，或t=-4…（11分）
把t=0代入原方程得x₁=x₂=1（这与m＞1矛盾）…（12分）
把t=-4代入原方程得x²-10x+9=0，解得x₁=1，x₂=9∴
m=9…（13分）
综上知：m的最大值为9．…（14分）
点评：本题考查待定系数法求函数的解析式，考查函数的最值问题，将问题转化为y=f（x+t）的图象在y=x的图象的下方，且m最大是关键，属于中档题．