Question

（2011•西城区二模）已知椭圆M：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2 2

3

，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为6+4

2

．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆M交于A，B两点，且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因为椭圆M上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为6+4

2

，根据椭圆的几何性质得出2a+2c的值，又椭圆的离心率即可求得a，c，所以b=1，最后写出椭圆M的方程；
（Ⅱ）不妨设直线AB的方程x=ky+m，将直线的方程代入抛物线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得m值，从而解决问题．

解答：解：（Ⅰ）因为椭圆M上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为6+4

2

，
所以2a+2c=6+4

2

，
又椭圆的离心率为

2 2

3

，即

c

a

=

2 2

3

，所以c=

2 2

3

a，…（2分）
所以a=3，c=2

2

．
所以b=1，椭圆M的方程为

x2

9

+y2=1．…（3分）
（Ⅱ）不妨设直线AB的方程x=ky+m．
由

x=ky+m x2 9 +y2=1

消去x得（k²+9）y²+2kmy+m²-9=0，…（5分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则有y1+y2=-

2km

k2+9

，y1y2=

m2-9

k2+9

．①…（6分）
因为以AB为直径的圆过点C，所以 

CA

•

CB

=0．
由 

CA

=(x1-3，y1)，

CB

=(x2-3，y2)，
得 （x₁-3）（x₂-3）+y₁y₂=0．…（7分）
将x₁=ky₁+m，x₂=ky₂+m代入上式，
得 （k²+1）y₁y₂+k（m-3）（y₁+y₂）+（m-3）²=0．
将 ①代入上式，解得 m=

12

5

或m=3（舍）．…（8分）
所以m=

12

5

，令D是直线AB与X轴的交点，则|DC|=

3

5

则有S△ABC=

1

2

|DC||y1-y2|=

1

2

×

3

5

(y1+y2)2-4y1y2

=

9

5

25(k2+9)-144 25(k2+9)2

．…（10分）
设t=

1

k2+9

，0＜t≤

1

9

，则S△ABC=

9

5

- 144 25 •t2+t

．
所以当t=

25

288

∈(0，

1

9

]时，S_△ABC取得最大值

3

8

．…（12分）

点评：本题考查椭圆的方程和三角形面积的最大值，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．