Question

【题目】某单位建造一间地面面积为12 m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过a m，房屋正面的造价为400元/m2，房屋侧面的造价为150元/m2，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高为3 m，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？最低总造价是多少？

Answer 1

【答案】若a≥4，当x＝4时，有最小值13000元；

若a<4，当x＝a时，有最小值为900（a＋）＋5800元

【解析】

试题分析：已知中地面面积为12m2，我们可得xy=12有，根据房屋正面的造价为400元/m2，房屋侧面的造价为150元/m2，屋顶的造价共5200元，结合墙高为3m，我们可以构造房屋总造价的函数解析式，利用基本不等式或导数即可求出函数的最小值，进而得到答案

试题解析：用长度x表示出造价，利用基本不等式求最值即可，还应注意定义域0<x≤a，函数取最小值时的x是否在定义域内，若不在定义域内，不能用不等式求最值，可以考虑单调性．

试题解析：由题意可得，造价y＝3（2x×150＋×400）＋5800＝900（x＋）＋5800（0<x≤a）．

则y＝900（x＋）＋5800≥900×2＋5800

＝13000（当且仅当x＝，即x＝4时取等号）．

若a≥4，x＝4时，有最小值13000．

若a<4，任取x1、x2∈（0，a]且x1<x2，

y1－y2＝900（x1＋）＋5800－900（x2＋）－5800

＝900[（x1－x2）＋16（－）]

＝．

因为0<x1<x2≤a，所以x1－x2<0，x1x2<a2<16，

所以y1－y2>0，所以y＝900（x＋）＋5800在（0，a]上是减函数，

所以当x＝a时，y有最小值900（a＋）＋5800．

综上，若a≥4，当x＝4时，有最小值13000元；若a<4，当x＝a时，有最小值为900（a＋）＋5800元．