Question

甲、乙、丙三名射击选手，各射击一次，击中目标的概率如下表所示（0＜p＜1）：

选手	甲	乙	丙
概率	1 2	p	P

若三人各射击一次，恰有k名选手击中目标的概率记为P_k=P（X=k），k=0，1，2，3．
（1）求X的分布列；（2）若击中目标人数的均值是2，求P的值．

Answer 1

分析：（1）由已知中甲射中的概率为

1

2

，则甲未射中的概率为

1

2

，乙和丙射中的概率为p，乙和丙未射中的概率为（1-p），我们易根据恰有k名选手击中目标的概率记为P_k=P（X=k），计算出P₀，P₁，P₂，P₃的值，进而得到X的分布列；
（2）根据（1）中的X有分布列，我们可以求出离散型变量X的数学期望（含参数p），根据击中目标人数的均值是2，我们可以构造关于参数p的方程，解方程即可求出P的值．

解答：解：（1）由题意得：
P₀=

1

2

•(1-p)2；
P₁=

1

2

•(1-p)2+

1

2

•p•(1-p) +

1

2

•p•(1-p) =-

1

2

p2+

1

2

，
P₂=

1

2

•p•(1-p) +

1

2

•p•(1-p) +

1

2

p2=-

1

2

p2+p，
P₃=

1

2

p2，
∴X的分布列为

X	0	1	2	3
p	1 2 •(1-p)2	- 1 2 p2+ 1 2	- 1 2 p2+p	1 2 p2

…（8分）
（2）EX=0×

1

2

•(1-p)2+1×-

1

2

p2+

1

2

+2×-

1

2

p2+p+3×

1

2

p2=2p+

1

2

，
∴2p+

1

2

=2，
∴p=

3

4

．…（12分）

点评：本题考查的知识点是n次独立重复试验中恰好发生k次的概率，离散型随机变量及其分布列和数学期望，（1）中的关键是根据分步乘法原理分别求出P₀，P₁，P₂，P₃的值，（2）的关键是根据已知条件构造关于参数p的方程．