Question

已知抛物线过点．
（1）求抛物线的方程，并求其准线方程；
（2）过焦点且斜率为的直线与抛物线交于两点，求的面积．

Answer 1

（1）抛物线的方程为，准线方程为；（2）.

解析试题分析：（1）先由抛物线过点得到，进而解出的值，这样即可确定该抛物线的方程，进而再根据抛物线的几何性质得到准线方程；（2）由（1）中抛物线的方程先确定，进而根据点斜式可写出直线的方程，设点，联立直线与抛物线的方程，消去得到，进而根据二次方程根与系数的关系得到，进而可根据弦长计算公式计算出弦长，然后由点到直线的距离公式算出原点到直线的距离，进而可求出的面积.
（1）根据抛物线过点可得，解得
从而抛物线的方程为，准线方程为                5分
（2）抛物线焦点坐标为，所以直线            6分
设点
联立 得：，即          8分
则由韦达定理有：        9分
则弦长     11分
而原点到直线的距离                    12分
故                        13分.
考点：1.抛物线的标准方程及其几何性质；2.直线与抛物线的位置关系；3.点到直线的距离公式.