Question

（本小题满分13分）随着石油资源的日益紧缺，我国决定建立自己的石油储备基地，

已知某石油储备基地原储有石油吨，按计划正式运营后的第一年进油量为已储油量的25%，以后每年的进油量均为上一年底储油量的25%，且每年年内用出吨，设为正式运营后第年年底的石油储量．（Ⅰ）求、、；                                   （Ⅱ）猜测出的表达式并用数学归纳法予以证明；（Ⅲ）为抵御突发事件，该油库年底储油量不得少于吨，如果吨，该油库能否长期按计划运营？如果能，请加以证明；如果不能，请说明理由．（计算中可供参考的数据：，）

Answer 1

（Ⅰ）略（Ⅱ）略（Ⅲ）5

解析:

（Ⅰ）依题意，油库原有储油量为a吨，则，

     ，

       ，…；……3分

       （Ⅱ）由（Ⅰ）猜测：对于任意正整数恒有

       ，

       下用数学归纳法证明：

       1^o当时，，猜测成立；……4分

       2^o假设当时，成立，……5分

       那么，由，得，

       这就是说当时，猜测也成立，综合1^o、2^o知，对于猜测都成立； 8分

       （Ⅲ）如果吨时，该油库第年年底的储油量不少于吨，

       ，∴≤3，                                    …………10分

       ∴=，

       说明该油库只能在5年内运营，因此不能长期运营．……13分

       本题考查数列知识、数学归纳法的应用、不等式的解法和数学应用能力，属较难题．