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    已知
    e
    1、
    e
    2、
    e
    3为不共面向量，若
    a
    =
    e
    1+
    e
    2+
    e
    3，
    b
    =
    e
    1-
    e
    2+
    e
    3，
    c
    =
    e
    1+
    e
    2-
    e
    3，
    d
    =
    e
    1+2
    e
    2+3
    e
    3，且
    d
    =x
    a
    +y
    b
    +z
    c
    ，则x、y、z分别为
    5
    2
    ，-
    1
    2
    ，-1
    5
    2
    ，-
    1
    2
    ，-1
    ．
    分析：由
    d
    =x
    a
    +y
    b
    +z
    c
    ，得
    e1
    +2
    e2
    +3
    e3
    =x(
    e1
    +
    e2
    +
    e3
    )    +y(
    e1
    -
    e2
    +
    e3
    )+    z(
    e1
    +
    e2
    -
    e3
    )    整理为
    e1
    +2
    e2
    +3
    e3
    =(x+y+z)
    e1
    +(x-y+z)
    e2
    +(x+y-z)
    e3
    ，利用向量相等即可得出．
    解答：解：由
    d
    =x
    a
    +y
    b
    +z
    c
    ，得
    e1
    +2
    e2
    +3
    e3
    =x(
    e1
    +
    e2
    +
    e3
    )    +y(
    e1
    -
    e2
    +
    e3
    )+    z(
    e1
    +
    e2
    -
    e3
    )
    化为
    e1
    +2
    e2
    +3
    e3
    =(x+y+z)
    e1
    +(x-y+z)
    e2
    +(x+y-z)
    e3
    ，
    由向量相等条件可得
    x+y+z=1
    x-y+z=2
    x+y-z=3
    ，解得
    x=
    5
    2
    y=-
    1
    2
    z=-1
    ，
    故答案为
    5
    2
    ，-
    1
    2
    ，-1．
    点评：熟练掌握向量的运算法则和向量相等是解题的关键．
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知{e1，e2，e3}为空间的一个基底，且
    OP
    =2e1-e2+3e3    ，
    OA
    =e1+2e2-e3    ，
    OB
    =-3e1+e2+2e3    ，
    OC
    =e1+e2-e3    ．
    （1）判断P，A，B，C四点是否共面；
    （2）能否以{
    OA
    ，
    OB
    ，
    OC
    }    作为空间的一个基底？若不能，说明理由；若能，试以这一基底表示向量
    OP
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知{
    e1
    ，
    e2
    ，
    e3
    }    是空间的一个基底，下列四组向量中，能作为空间一个基底的是（　　）
    ①
    e1
    ，2
    e2
    ，
    e2
    -
    e3

    ②2
    e2
    ，
    e2
    -
    e1
    ，
    e2
    +2
    e1

    ③2
    e1
    +
    e2
    ，
    e2
    +
    e3
    ，-
    e1
    +5
    e3

    ④
    e3
    ，
    e1
    +
    e3
    ，
    e1
    +
    e3
    ．
    A、①②B、②④C、③④D、①③

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：填空题

    已知
    e
    1、
    e
    2、
    e
    3为不共面向量，若
    a
    =
    e
    1+
    e
    2+
    e
    3，
    b
    =
    e
    1-
    e
    2+
    e
    3，
    c
    =
    e
    1+
    e
    2-
    e
    3，
    d
    =
    e
    1+2
    e
    2+3
    e
    3，且
    d
    =x
    a
    +y
    b
    +z
    c
    ，则x、y、z分别为______．

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    科目：高中数学 来源：2011年辽宁省名校高三数学单元测试：空间向量与立体几何（解析版） 题型：解答题

    已知{e1，e2，e3}为空间的一个基底，且，，，．
    （1）判断P，A，B，C四点是否共面；
    （2）能否以作为空间的一个基底？若不能，说明理由；若能，试以这一基底表示向量．

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