Question

已知、分别是椭圆C:的左焦点和右焦点,O是坐标系原点, 且椭圆C的焦距为6, 过的弦AB两端点A、B与所成的周长是.
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）已知点，是椭圆C上不同的两点，线段的中点为,
求直线的方程

Answer 1

（Ⅰ） 解:设椭圆C:的焦距为2c,
∵椭圆C:的焦距为2,   ∴2c=6,即c=3…………1分
又∵、分别是椭圆C:的左焦点和右焦点,且过的弦AB两端点A、B与所成⊿AB的周长是.
∴⊿AB的周长 = AB+(AF₂+BF₂)= (AF₁+BF₁)+ (AF₂+BF₂)=4=
∴                                            …………4分
又∵, ∴∴椭圆C的方程是…………6分
（Ⅱ）解一：点，是椭圆C上不同的两点，
∴，.…………7分
以上两式相减得：，…………8分                             
即，，…9分
∵线段的中点为，∴. …10分
∴，…………11分
当，由上式知， 则重合，与已知矛盾，因此，………12分
∴.         ……………………13分
∴直线的方程为，即.      ………14分
解二: 当直线的不存在时, 的中点在轴上, 不符合题意.
故可设直线的方程为, . ……8分
由 消去，得   (*)
.            ………10分
的中点为,
..解得.  ………12分                                                 
此时方程(*)为,其判别式.………13分
∴直线的方程为.        ………14分 

解析