Question

【题目】如图，在由三棱锥和四棱锥拼接成的多面体中，平面，平面平面，且是边长为的正方形，是正三角形.

（1）求证：平面；

（2）若多面体的体积为，求与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析.（2）

【解析】

（1）设点为中点，证明平面，又平面，可以得到，再由线面平行的判定定理，即可得到平面；

（2）由求出长，再以点为原点建立直角坐标系，利用向量法求与平面所成角的正弦值.

（1）设点为中点，是正三角形，所以，

又平面平面，且平面平面，

所以平面，

又平面，所以，

平面，平面，所以平面；

（2）由题意，

，

解得，

以点为原点建立如图直角坐标系，

是边长为的正方形，是正三角形.则

，，，，

，，；

设平面的法向量为，

则，

令，则，，所以，

设与平面所成角为，

则.

故直线与平面所成角的正弦值为.