Question

【题目】如图,在底面为平行四边形的四棱锥O-ABCD中,BC⊥平面OAB,E为OB中点,OA=AD=2AB=2,OB=.

(1)求证:平面OAD⊥平面ABCD;

(2)求二面角B-AC-E的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

(1)根据已知条件，判断出OA⊥BC与OA⊥AB，进而判断平面和平面的垂直。

(2)建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，求出两个平面的法向量，进而利用两个平面的法向量求出两个平面的二面角大小。

(1)证明∵BC⊥平面OAB,OA平面OAB,

∴OA⊥BC.又OA=2AB=2,OB=,

在△OAB中,OA2+AB2=OB2,

∴OA⊥AB,∴OA⊥平面ABCD.

又OA平面OAD,∴平面OAD⊥平面ABCD.

(2)解由(1)知OA,AB,AD两两垂直,以A为坐标原点,分别以AD,AB,AO所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系

,则A(0,0,0),C(2,1,0),O(0,0,2),B(0,1,0),E=(2,1,0),.

设平面AEC的法向量n=(x,y,z),

则

取x=1,得n=(1,-2,1).

又平面ABC的法向量m=(0,0,1),

cos<m,n>=.

∴二面角B-AC-E的余弦值为.