Question

【题目】已知点，圆，过点的动直线与圆交于两点，线段的中点为为坐标原点．

（1）求的轨迹方程；

（2）当时，求的方程及的面积．

Answer 1

【答案】（1）；（2）， .

【解析】试题分析：（Ⅰ）由圆的方程求出圆心坐标和半径，设出的坐标，由与数量积等于列式得的轨迹方程；（Ⅱ）设的轨迹的圆心为，由得到，求岀所在直线的斜率，由直线的方程的点斜式得到所在直线方程，由点到直线的距离公式求出到的距离，再由弦心距、圆的半径及弦长间的关系求出的长度，代入三角形的面积公式得答案.

试题解析：（Ⅰ） 圆的方程可化为,

所以圆心为,半径为.

设,则.

由题设知,故,即.

由于点在圆的内部,所以的轨迹方程是.

（Ⅱ）由(1)可知的轨迹是以点为圆心, 为半径的圆.

由于,故在线段的垂直平分线上,又在圆上,从而.

因为的斜率为,所以直线的斜率为,故的方程为.

又, 到直线的距离为,

故,所以的面积为.