Question

设数列的前项和满足,其中.

⑴若,求及;

⑵若,求证:,并给出等号成立的充要条件.

 

Answer 1

【答案】

（1），；（2）当且仅当或时等号成立.

【解析】

试题分析：(1)已知 与 的关系式求出首项和通项，通常都是取特值和写一个递推式相减即可.(2)由（1）得到，分析第1,2项可得后要证的问题等价于本题是通过利用对称项的关系来证明的，该对称项是通过对的范围的讨论得到的. 通过累加后得到，然后不等式的两边同时加上即可得到答案.

试题解析：⑴ ………①,

当时代入①,得,解得;

由①得,两式相减得(),故,故为公比为2的等比数列,

故(对也满足);

⑵当或时,显然,等号成立.

设,且,由(1)知,,,所以要证的不等式化为:

 

即证:

当时,上面不等式的等号成立.

当时,与,()同为负;

当时,    与,()同为正;

因此当且时,总有 ()()>0,即

,().

上面不等式对从1到求和得, ;

由此得 ;

综上,当且时,有,当且仅当或时等号成立.

考点：1.数列的求和与通项的关系.2.数列中不等式的证明.3.数列的累加法的应用.4.分类的思想.