Question

【题目】对于三个实数、、，若成立，则称、具有“性质”.

（1）试问：①，0是否具有“性质2”；

②（），0是否具有“性质4”；

（2）若存在及，使得成立，且

，1具有“性质2”，求实数的取值范围；

（3）设，，，为2019个互不相同的实数，点（）

均不在函数的图象上，是否存在，且，使得、

具有“性质2018”，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）①具有“性质2”，②不具有“性质4”；（2）；（3）存在.

【解析】

（1）①根据题意需要判断的真假即可② 根据题意判断是否成立即可得出结论；（2）根据具有性质2可求出的范围，由存在性问题成立转化为 ，根据函数的性质求最值即可求解.

（1）①因为，成立,

所以，故，0具有“性质2”

②因为，设，则

设，

对称轴为，

所以函数在上单调递减，当时，，

所以当时，不恒成立，

即不成立，

故（），0不具有“性质4”.

（2）因为，1具有“性质2”

所以

化简得

解得或 .

因为存在及，使得成立，

所以存在 及使 即可.

令，则，

当时，，

所以在上是增函数，

所以时，，当时，，

故时，

因为在上单调递减，在 上单调递增，

所以，

故只需满足即可，解得.

（3）假设具有“性质2018”，则，

即证明在任意2019个互不相同的实数中，一定存在两个实数,满足：

.

证明：

由，

令，由万能公式知，

将等分成2018个小区间，则这2019个数必然有两个数落在同一个区间，令其为：，即，

也就是说，在，，，这2019个数中，一定有两个数满足，

即一定存在两个实数，满足，

从而得证.