Question

函数f(x)=cos(-

x

2

)+cos(

1

2

π-

x

2

)，x∈R．
（1）求f（x）的值域；
（2）求f（x）在[0，π）上的单调递减区间．

Answer 1

分析：（1）根据三角函数的诱导公式与辅助角公式，化简可得f（x）=

2

sin（

x

2

+

π

4

），再由x∈R，-1≤sin（

x

2

+

π

4

）≤1，可得函数f（x）的值域为[-

2

，

2

]；
（2）先根据函数y=sinx的单调区间的结论，求得f（x）的单调递减区间是[

π

2

+4kπ，

5π

2

+4kπ]，（k为整数），取k=0得到一个区间，将它与[0，π）取交集可得[

π

2

，π），即得f（x）在[0，π）上的单调递减区间．

解答：解：（1）∵f(x)=cos(-

x

2

)+cos(

1

2

π-

x

2

)，x∈R，
∴f（x）=cos

x

2

+sin

x

2

=

2

（sin

π

4

cos

x

2

+cos

π

4

sin

x

2

）=

2

sin（

x

2

+

π

4

）
∵x∈R，∴-1≤sin（

x

2

+

π

4

）≤1，

2

sin（

x

2

+

π

4

）∈[-

2

，

2

]
即函数f（x）的值域为[-

2

，

2

]；
（2）由f（x）=

2

sin（

x

2

+

π

4

），令

π

2

+2kπ≤

x

2

+

π

4

≤

3π

2

+2kπ，（k为整数）
解之得

π

2

+4kπ≤x≤

5π

2

+4kπ，所以f（x）的单调递减区间是[

π

2

+4kπ，

5π

2

+4kπ]，（k为整数）．
取k=0，得[

π

2

，

5π

2

]，与[0，π）取交集可得[

π

2

，π）
∴f（x）在[0，π）上的单调递减区间为[

π

2

，π）．

点评：本题借助于一个特殊的三角函数，通过求函数的值域与单调区间，考查了正弦函数的单调性、三角函数的化简与求值等知识点，属于基础题．