Question

【题目】已知数列{an}前n项和Sn满足Sn+1=a2Sn+a1 ， 其中a2≠0．
（Ⅰ）求证数列{an}是首项为1的等比数列；
（Ⅱ）当a2=2时，是否存在等差数列{bn}，使得a1bn+a2bn﹣1+a3bn﹣2+…+anb1=2n+1﹣n﹣2对一切n∈N*都成立？若存在，求出bn；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）∵S1=a1 ， ∴S2=a1+a2=a2a1+a1 ，
得：a2=a2a1 ，
∵a2≠0，
∴a1=1，
由Sn+1=a2Sn+a1可得：Sn+2=a2Sn+1+a1 ， 减去前式，有an+2=a2an+1 ，
∴，
又也符合，
故对n∈N*恒成立，数列{an}是首项为1，公比为a2的等比数列．
（Ⅱ）解：a2=2=q，a1=1，
∴，
设存在等差数列{bn}．则有：①
②
将a1=1代入①，b1=1，
再结合a2=2代入②，b2=2，
故等差数列{bn}若存在，由b1=1、b2=2必有bn=n．
下面证明数列{bn}满足题意．
设Tn=a1bn+a2bn﹣1+a3bn﹣2+…+anb1=1×n+2×（n﹣1）+22×（n﹣2）+…+2n﹣2×2+2n﹣1×1 ③
则2Tn=2×n+22×（n﹣1）+23×（n﹣2）+…+2n﹣1×2+2n×1 ④，
④﹣③有：Tn=﹣n+2+22+…2n=2n+1﹣n﹣2，
∴存在等差数列{bn}，bn=n使得a1bn+a2bn﹣1+a3bn﹣2+…+anb1=2n+1﹣n﹣2对一切n∈N*都成立
【解析】（Ⅰ）由S1=a1 ， S2=a1+a2=a2a1+a1 ， 可得a1=1，利用递推式Sn+1=a2Sn+a1 ， Sn+2=a2Sn+1+a1 ， 可得an+2=a2an+1 ， 再利用等比数列的定义即可得出．
（II）a2=2=q，a1=1，可得： ， 设存在等差数列{bn}．则有： ， ， 可得b1=1，b2=2，故等差数列{bn}若存在，由b1=1、b2=2必有bn=n．再利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．
【考点精析】掌握等比关系的确定和数列的前n项和是解答本题的根本，需要知道等比数列可以通过定义法、中项法、通项公式法、前n项和法进行判断；数列{an}的前n项和sn与通项an的关系．