Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，椭圆E: (a＞b＞0)的离心率为，焦距为2.

(1)求椭圆E的方程；

(2)如图，动直线l：y＝k1x－交椭圆E于A，B两点，C是椭圆E上一点，直线OC的斜率为k2，且k1k2＝.M是线段OC延长线上一点，且|MC|∶|AB|＝2∶3，⊙M的半径为|MC|，OS，OT是⊙M的两条切线，切点分别为S，T.求∠SOT的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

试题分析：由椭圆焦距为 可得 ，由离心率为可得 ，根据可得 ，从而可得椭圆的标准方程；（2）直线方程与所求椭圆方程联立消去 ,可得 ，根据韦达定理与弦长公式可得可求出 的长，从而求出圆的半径，可得到 斜率，设出直线的方程，与椭圆方程联立，求出 点坐标，可得 的长，可求得 ，求出 的取值范围，从而可得 的最大值，进而可得结果.

试题解析：(1)由题意知e＝＝，2c＝2，所以a＝，b＝1，

所以椭圆E的方程为＋y2＝1.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

联立方程得(4k＋2)x2－4k1x－1＝0.

由题意知Δ＞0，且x1＋x2＝，x1x2＝－，

所以|AB|＝|x1－x2|

＝.

由题意可知圆M的半径r为

r＝|AB|＝.

由题设知k1k2＝，所以k2＝，

因此直线OC的方程为y＝x.

联立方程

得x2＝，y2＝，

因此|OC|＝＝.

由题意可知sin＝＝，

而＝

＝，

令t＝1＋2k，则t＞1，∈(0,1)，

因此＝＝

＝≥1，

当且仅当＝，即t＝2时等号成立，此时k1＝±，

所以sin≤，因此≤，

所以∠SOT的最大值为.

综上所述：∠SOT的最大值为，取得最大值时直线l的斜率为k1＝±.