Question

（理）设α∈（0，π），函数f（x）的定义域为[0，1]，且f（0）=0，f（1）=1，对定义域内任意的x，y，满足f（

x+y

2

）=f（x）sinα+（1-sinα）f（y）．
（1）试用α表示f（

1

2

），并在f（

1

2

）时求出α的值；
（2）试用α表示f（

1

4

），并求出α的值；
（3）n∈N时，a_n=

1

2n

，求f（a_n），并猜测x∈[0，1]时，f（x）的表达式．
（文）已知向量

OA

=(3，-4)，

OB

=(6，-3)，

OC

=（5-m，-3-m）
（1）若点A、B、C不能构成三角形，求实数m应满足的条件．
（2）若△ABC为直角三角形，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（理）（1）分别取x=1，y=0与x=0，y=1，确定f（

1

2

），从而求出sinα的值，以及α的值；
（2）分别取x=

1

2

，y=0与x=0，y=

1

2

，求出f（

1

4

）的值以及α的值即可．
（3）根据条件可得f（a_n）是首项为f（a₁）=

1

2

，公比为

1

2

的等比数列，即可猜测：f（x）=x．
（文）（1）由若点A、B、C不能构成三角形，则三点共线，求出

AB

，

AC

，由向量的共线知识知：3（1-m）=2-m，从而求得m的值．
（2）分别讨论∠A，∠B，∠C=90°的情况，然后根据垂直的向量数量积为0，求得m的值即可．

解答：（理）解：（1）f（

1

2

）=f（1）sinα+（1-sinα）f（0）=sinα，…．（1分）
又：f（

1

2

）=f（0）sinα+（1-sinα）f（1）=1-sinα，
∴sinα=1-sinα
则sinα=

1

2

∵α∈(0，π)∴α=

π

6

或

5π

6

…．（3分）
（2）令x=

1

2

，y=0，f（

1

4

）=f（

1

2

）sinα=sin²α
令x=0，y=

1

2

，f（

1

4

）=（1-sinα）f（

1

2

）=-sin²α+sinα
∴sinα=0或sinα=

1

2

∵α∈（0，π），∴α=

π

6

或

5π

6

…．（10分）
（3）∵n∈N，a_n=

1

2n

，所以
f（a_n）=f（

1

2n

)=f(

1 2n-1 +0

2

)=

1

2

f(

1

2n-1

)=

1

2

f(an-1）（n∈N）…（11分）
因此f（a_n）是首项为f（a₁）=

1

2

，公比为

1

2

的等比数列    …（12分）
故f（a_n）=f（

1

2n

)=

1

2n

…（13分）．
猜测f（x）=x…（14分）．
（文）解：（1）已知向量

OA

=(3，-4)，

OB

=(6，-3)，

OC

=（5-m，-3-m），
若点A、B、C不能构成三角形，则这三点共线．             …（1分）
∵

AB

=(3，1)，

AC

=（2-m，1-m）…（3分）
故知3（1-m）=2-m                                   …（4分）
∴实数m=

1

2

时，满足条件．…（5分）
（2）若△ABC为直角三角形，且
①∠A为直角，则

AB

⊥

AC

，∴3（2-m）+（1-m）=0，解得m=

7

4

…（7分）
②∠B为直角，

BC

=（-1-m，-m）则

AB

⊥

BC

，∴3（-1-m）-m=0，解得m=-

3

4

…（10分）
③∠C为直角，则

BC

⊥

AC

，∴（2-m）（-1-m）+（1-m）（-m）=0，解得m=

1± 5

2

…（13分）
综上，m=

7

4

或m=-

3

4

或m=

1± 5

2

…（14分）

点评：本题主要考查了抽象函数的应用，以及数列与函数的综合，向量的共线与垂直，向量的数量积运算，同时考查了计算能力，属于中档题．