Question

设数列{a_n}满足：a₁=1，an+1=

1

16

(1+4an+

1+24an

)(n∈N*)．令bn=

1+24an

．
（1）求证数列{b_n-3}是等比数列并求数列{b_n}的通项公式；
（2）已知f（n）=6a_n+1-3a_n，求证：f(1)•f(2)•…•f(n)＞

1

2

．

Answer 1

分析：（1）由bn=

1+24an

，得an=

b 2 n -1

24

，代入an+1=

1

16

(1+4an+

1+24an

)(n∈N*)，可得2b_n+1=b_n+3，从而可得{b_n-3}是首项为2，公比为

1

2

的等比数列，由此可求数列{b_n}的通项公式；
（2）法一：先求数列{a_n}的通项公式，利用f（n）=6a_n+1-3a_n，借助于放缩法，即可证得结论；
法二：利用(1+

1

2n-1

)(1-

1

2n

)=1+

1

2n

-

1

22n-1

＞1，进行放缩，即可证得结论；

解答：证明：（1）由bn=

1+24an

，得an=

b 2 n -1

24

，代入an+1=

1

16

(1+4an+

1+24an

)(n∈N*)得

b 2 n+1 -1

24

=

1

16

(1+4×

b 2 n -1

24

+bn)，∴4

b

2 n+1

=(bn+3)2，
∴2b_n+1=b_n+3，∴2（b_n+1-3）=b_n-3，
∴{b_n-3}是首项为2，公比为

1

2

的等比数列
∴bn-3=2×(

1

2

)n-1，∴bn=(

1

2

)n-2+3
（2）法一：由（2）得an=

1

24

[(

1

2

)n-2+3]2-

1

24

=

2

3

•(

1

4

)n+(

1

2

)n+

1

3

∴f(n)=

1

4n

+

3

2n

+2-

2

4n

-

3

2n

-1=1-

1

4n

∵1-

1

4n

=

(1- 1 4n )(1+ 1 4n-1 )

1+ 1 4n-1

=

1+ 1 4n-1 - 1 4n - 1 42n-1

1+ 1 4n-1

=

1+ 1 4n + 2 4n - 1 42n-1

1+ 1 4n-1

＞

1+ 1 4n

1+ 1 4n-1

∴f(1)•f(2)•…•f(n)=(1-

1

4

)(1-

1

42

)…(1-

1

4n

)＞

1+ 1 4

1+1

•

1+ 1 42

1+ 1 4

•…•

1+ 1 4n

1+ 1 4n-1

=

1+ 1 4n

2

＞

1

2

法二：同理由f(n)=1-

1

4n

=(1-

1

2n

)(1+

1

2n

)
∵(1+

1

2n-1

)(1-

1

2n

)=1+

1

2n

-

1

22n-1

＞1
∴f(1)•f(2)…f(n)=(1-

1

2

)(1+

1

2

)(1-

1

4

)(1+

1

4

)…(1+

1

2n-1

)(1-

1

2n

)(1+

1

2n

)＞(1-

1

2

)1•1•…1•(1+

1

2n

)＞

1

2

点评：本题考查等比数列的证明，考查数列的通项，考查不等式的证明，适当放缩是关键．