Question

设函数f（x）=（1+x）²-2ln（1+x）．
（1）若在定义域内存在x₀，而使得不等式f（x₀）-m≤0能成立，求实数m的最小值；
（2）若函数g（x）=f（x）-x²-x-a在区间（0，2]上恰有两个不同的零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）依题意得，求m的最小值，就是求f（x）的最小值，利用导数研究函数的单调性，可以得到f（x）在（-1，0）上为减函数，f（x）在（0，+∞）为增函数，即f（x）的最小值为f（0）=1，所以m的最小值为1
（2）解出g（x）=x+1-2ln（x+1）-a，原题设即方程1+x-2ln（1+x）=a在区间[0，2]上恰有两个相异实根，令h（x）=1+x-2ln（1+x），这时只需解出h（x）在[0，2]上的值域，画出图象，可以得出a的取值范围．

解答：解：（1）要使得不等式f（x₀）-m≤0能成立，只需m≥f（x）_mix．
求导得f′（x）=2（1+x）-2

1

1+x

=

2x(x+2)

x+1

，定义域为（-1，+∞），
∵当x∈（-1，0）时，f′（x）＜0，
∴函数f（x）在区间（-1，0）上是减函数；
当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，∴函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数．
∴f（x）_mix=f（0）=1，∴m≥1．故实数m的最小值为1．
（2）由f（x）=（1+x）²-2ln（1+x）得：
g（x）=（1+x）²-2ln（1+x）-（x²+x+a）=x+1-2ln（x+1）-a
原题设即方程1+x-2ln（1+x）=a在区间[0，2]上恰有两个相异实根．
设h（x）=（1+x）-2ln（1+x）．∵h′（x）=1-

2

1+x

=

x-1

x+1

，列表如下：

∵h（0）-h（2）=1-（3-2ln3）=2（ln3-1）＞2（lne-1）=0，∴h（0）＞h（2）．
从而有h（x）_max=1，h（x）_min=2-2ln2
画出函数h（x）在区间[0，2]上的草图（如图）
易知要使方程h（x）=a在区间（0，2]上恰有两个相异实根，
只需：2-2ln2＜a≤3-2ln3，
即：a∈（2-2ln2，3-2ln3]．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，本题比较新颖的地方是，求解（2）中的a的取值范围，经过等价变换，只需求h（x）=（1+x）-2ln（1+x）的值域，再根据图象，解出a的取值范围．在教学中，多加强训练和指导，以便掌握其要领．