Question

已知定点F（1，0），动点P（异于原点）在y轴上运动，连接FP，过点P作PM交x轴于点M，并延长MP到点N，且，．
（1）求动点N的轨迹C的方程；
（2）若直线l与动点N的轨迹交于A、B两点，若且，求直线l的斜率k的取值范围．

Answer 1

解：（1）设动点N（x，y），则M（-x，0），P（0，）（x＞0），
∵PM⊥PF，∴k_PMk_PF=-1，即，
∴y²=4x（x＞0）即为所求．
（2）设直线l方程为y=kx+b，l与抛物线交于点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
则由，得x₁x₂+y₁y₂=-4，即 +y₁y₂=-4，∴y₁y₂=-8，
由可得 ky²-4y+4b=0（其中k≠0），∴y₁y₂==-8，b=-2k，
当△=16-16kb=16（1+2k²）＞0时，|AB|²=（1+）=•[-4y₁•y₂]=（+32）．
由题意，得16×6≤•≤16×30，解得 ，
∴≤k≤1，或-1≤k≤-．
即所求k的取值范围是[-1，-]∪[ 1]．
分析：（1）设出动点N，则M，P的坐标可表示出，利用PM⊥PF，k_PMk_PF=-1，求得x和y的关系式，即N的轨迹方程．
（2）设出直线l的方程，A，B的坐标，根据，推断出x₁x₂+y₁y₂=-4进而求得y₁y₂的值，把直线与抛物线方程联立消去x求得y₁y₂的表达式，进而气的b和k的关系式，利用弦长公式表示出|AB|²，根据|AB|的范围，求得k的范围．
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题，两个向量的数量的运算，考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力，属于中档题．