Question

数列{a_n}的首项a₁=1，前n项和为S_n，且3tS_n-（2t+3）S_n-1=3t（t为常数，t≠-

3

2

，t≠0，n≥2）
（1）求证：{a_n}是等比数列；
（2）设{a_n}的公比为f（t），数列{b_n}（满足b₁=1，bn=f(

1

bn-1

)(n=2，3，…)，求b_n；
（3）数列{c_n}的通项为cn=

(12)log8an (n为奇数) (13)bn (n为偶数) (14)

，那么是否存在实数t，使得数列{（-1）ⁿc_n+c_n+1}中的每一项都大于1？若存在，求出t的范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题意得

3tSn-(2t+3)Sn-1=3t 3tSn-1-(2t+3)Sn-2=3t，(n≥3)

，由此能够证明：{a_n}是等比数列．
（2）由bn=f(

1

bn-1

)=

2 bn-1 +3

3 bn-1

=bn-1+

2

3

，知bn=1+

2

3

(n-1)=

2

3

n+

1

3

．
（3）由cn=

log8( 2t+3 3t )n (n为奇数) 2 3 n+ 1 3 (n为偶数)

，当n为奇数时，log8|

2t+3

3t

|＜

2

3

+

2

3(n-1)

对所有奇数成立；当n为偶数时，log8|

2t+3

3t

|＞

2

3n

-

2

3

对所有偶数成立，由此能够求出存在满足条件的实数t，t＞6或t≤-

3

14

且t≠-

3

2

．

解答：解：（1）由题意，可得

3tSn-(2t+3)Sn-1=3t 3tSn-1-(2t+3)Sn-2=3t，(n≥3)

，
两式相减，得3ta_n-（2t+3）a_n-1=0，
即

an

an-1

=

2t+3

3t

，(n≥3)
又3t（1+a₂）-（2t+3）=3t，
∴a2=

2t+3

3t

，
∴

a2

a1

=

2t+3

3t

所以，{a_n}是以1为首项，

2t+3

3t

为公比的等比数列；
（2）bn=f(

1

bn-1

)=

2 bn-1 +3

3 bn-1

=bn-1+

2

3

，
∴bn=1+

2

3

(n-1)=

2

3

n+

1

3

；
（3）cn=

log8( 2t+3 3t )n (n为奇数) 2 3 n+ 1 3 (n为偶数)

①当n为奇数时，(-1)ncn+cn+1=-log8(

2t+3

3t

)n-1+

2

3

n+1=-(n-1)log8|

2t+3

3t

|+

2

3

n+1
若存在满足条件的t，
则-(n-1)log8|

2t+3

3t

|+

2

3

n+1＞1对所有奇数成立，
即log8|

2t+3

3t

|＜

2

3

+

2

3(n-1)

对所有奇数成立，
所以log8|

2t+3

3t

|≤

2

3

，
∴t≥

3

10

或t≤-

3

14

②当n为偶数时，(-1)ncn+cn+1=

2

3

n+

1

3

+log8(

2t+3

3t

)n=

2

3

n+

1

3

+nlog8|

2t+3

3t

|
若存在满足条件的t，则nlog8|

2t+3

3t

|+

2

3

n+

1

3

＞1对所有偶数成立，
即log8|

2t+3

3t

|＞

2

3n

-

2

3

对所有偶数成立，
所以log8|

2t+3

3t

|＞

2

3×2

-

2

3

，
∴t＞6或t＜

6

7

综合之，存在满足条件的实数t，t＞6或t≤-

3

14

且t≠-

3

2

．

点评：本题考查不等式和数列的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．